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本书是按照*制定的“全国硕士研究生招生统一考试数学考试大纲”编写的考研数学辅导教材,全书共分三部分. *部分： 高等数学； 第二部分： 线性代数； 第三部分： 概率论与数理统计.书末附有*近两年的考研真题及参考答案.

本书按内容分块，每一块为一讲，在每讲中先讲基本理论，再讲典型例题，在每讲的后面配备了类型全面的习题，用以检查读者掌握知识的程度.

本书内容丰富适当，解题方法典型，习题全面新颖，适合于理工类和经管类所有准备参加硕士研究生招生考试的考生复习之用.

目录

部分高等数学

讲函数、极限与连续

同步精练1—1

同步精练1—1参考答案

第二讲导数与微分

同步精练1—2

同步精练1—2参考答案

第三讲中值定理

同步精练1—3

同步精练1—3参考答案

第四讲导数的应用

同步精练1—4

同步精练1—4参考答案

第五讲不定积分

同步精练1—5

同步精练1—5参考答案

第六讲定积分及其应用

同步精练1—6

同步精练1—6参考答案

第七讲常微分方程与差分方程

同步精练1—7

同步精练1—7参考答案

第八讲无穷级数

同步精练1—8

同步精练1—8参考答案

第九讲向量代数与空间解析几何

同步精练1—9

同步精练1—9参考答案

第十讲多元函数微分学

同步精练1—10

同步精练1—10参考答案

第十一讲重积分

同步精练1—11

同步精练1—11参考答案

第十二讲曲线积分与曲面积分

同步精练1—12

同步精练1—12参考答案

第二部分线性代数

讲行列式

同步精练2—1

同步精练2—1参考答案

第二讲矩阵

同步精练2—2

同步精练2—2参考答案

第三讲向量组的线性相关性与向量空间

同步精练2—3

同步精练2—3参考答案

第四讲线性方程组

同步精练2—4

同步精练2—4参考答案

第五讲矩阵的特征值与特征向量

同步精练2—5

同步精练2—5参考答案

第六讲二次型

同步精练2—6

同步精练2—6参考答案

第三部分概率论与数理统计

讲随机事件及其概率

同步精练3—1

同步精练3—1参考答案

第二讲随机变量及其概率分布

同步精练3—2

同步精练3—2参考答案

第三讲多维随机变量及其概率分布

同步精练3—3

同步精练3—3参考答案

第四讲随机变量的数字特征

同步精练3—4

同步精练3—4参考答案

第五讲大数定律和中心极限定理

同步精练3—5

同步精练3—5参考答案

第六讲数理统计的基本概念

同步精练3—6

同步精练3—6参考答案

第七讲参数估计

同步精练3—7

同步精练3—7参考答案

第八讲假设检验

同步精练3—8

同步精练3—8参考答案

考研真题及参考答案一

考研真题及参考答案二

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二、 典 型 例 题

【例1】选择题

(1)②设函数f(x)=x2(x-1)(x-2)，则f′(x)的零点个数为().(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3

(2) 设函数f(x)=arctanx.若f(x)=xf′(ξ),则limx→0ξ2x2=()．

(A) 1(B) 23(C) 12(D) 13

(3)③设函数f(x)在［a,b］上有定义，在(a,b)内可导，则()．(A) 当f(a)f(b)＜0时，ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0(B) 对任何ξ∈(a,b)，有limx→ξ［f(x)-f(ξ)］=0(C) 当f(a)=f(b)时，ξ∈(a,b)，使f′(ξ)=0(D) ξ∈(a,b)，使f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(4) 设f(x)在［0，1］上有二阶导数，且f″(x)＞0，则下列结论正确的是()．(A) f′(1)＞f′(0)＞f(1)-f(0)(B) f′(1)＞f(1)-f(0)＞f′(0)(C) f(1)-f(0)＞f′(1)＞f′(0)(D) f′(0)＞f(1)-f(0)＞f′(1)【解】(1) 应选（D）.因为f(0)=f(1)=f(2)=0，由罗尔定理可知，ξ1∈(0,1)，ξ2∈(1,2)，使f′(ξ1)=f′(ξ2)=0，又

f′(x)|x=0={2x(x-1)(x-2) x2(2x-3)}x=0=0.

故零点的个数为3.

(2) 应选（D）．由拉格朗日中值定理，有f(x)-f(0)x-0=f′(ξ),ξ在0与x之间.

arctanxx=11 ξ2,即ξ2=xarctanx-1,

故limx→0ξ2x2=limx→0x-arctanxx2arctanx=limx→0x-arctanxx3=13.

(3) 应选（B）．这里没有给出f(x)在［a,b］上连续的条件，（A），（C），（D）都不对．由f(x)在点ξ∈(a,b)可导，从而在点ξ连续，故limx→ξf(x)=f(ξ),故（B）正确．(4) 应选（B）．由f″(x)＞0，知f′(x)在［0，1］上单调增加．再由拉格朗日中值定理可知，ξ∈(0，1)，使f(1)-f(0)=f′(ξ)．从而

f′(0)＜f(1)-f(0)=f′(ξ)＜f′(1)．

1应用中值定理讨论方程的根【例2】设f(x)在［a, ∞)上连续，在(a, ∞)内可导，且f′(x)＞k＞0(k为常数)，又f(a)＜0，证明方程f(x)=0在a,a-f(a)k内有的实根．【分析】应用闭区间上连续函数的零点定理证明方程f(x)=0在［a,b］上有根，关键条件是f(a)f(b)＜0．本题应讨论fa-f(a)k的符号．【证】在区间a,a-f(a)k上对f(x)应用拉格朗日中值定理，有

fa-f(a)k=f(a)-f(a)kf′(ξ)，ξ∈a,a-f(a)k,

由于f(a)＜0，f′(x)＞k＞0，所以

fa-f(a)k＞f(a) k-f(a)k=0．

由零点定理知，ξ∈a,a-f(a)k，使f(ξ)=0．再由f′(x)＞0知,f(x)在a,a-f(a)k上是单调增加的，故方程f(x)=0在a,a-f(a)k内有的实根．【例3】设在［1， ∞)上处处有f″(x)＜0，且f(1)=2,f′(1)=-3，证明:  在(1， ∞)内方程f(x)=0仅有一个实根．【证】将函数f(x)在x=1处展开为一阶泰勒公式，得

f(x)=f(1) f′(1)(x-1) f″(ξ)2!(x-1)2，1＜ξ＜x,

由题设f″(x)＜0，知f″(ξ)2(x-1)2＜0，于是

f(x)＜2-3(x-1)=5-3x．

取x0=2＞53时，f(x0)＜0，又f(1)=2＞0，由零点定理知，η∈(1,x0)(1, ∞)，使f(η)=0，即方程f(x)=0在(1， ∞)内有实根存在．由于f″(x)＜0,x∈(1, ∞),所以f′(x)单调减少，于是f′(x)≤f′(1)=-3，即当x≥1时，f′(x)＜0,f(x)单调减少，故方程f(x)=0在(1, ∞)内只有一个实根．

2证明中值问题1） 利用费马定理【例4】设f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，f(0)=0，f(1)=1,∫10f(x)dx=2．试证明至少存在一点ξ∈(0,1)，使f′(ξ)=0．【分析】这种证明f′(ξ)=0的问题，常见的是采用罗尔定理，但本题f(0)≠f(1)，所以考虑f(x)在(0，1)内的极值，用费马定理去证．【证】由积分中值定理可知，η∈［0,1］，使

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本书是经典数学考研辅导教材，按照*制定的“全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲”的要求年年更新。总第11版。作者为吉林大学教授，资深考研培训教师，具有20年考研辅导经验，对考试重点、难点和命题规律把握准确。本书内容丰富适当，解题方法典型，还有许多独到的解题方法和技巧，习题全面新颖，附有*两年的考研真题。此书以其权威性、严谨性、全面性和实用性，给广大考生复习和备考提供了方便，赢得了广大考生的欢迎和信赖。

书摘插图

媒体评论

评论

前言

前言

本书是为迎接全国硕士研究生招生考试而编写的数学强化辅导教材.我们注意到，在准备考研的考生中，大家共同感到数学(包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计)是比较难复习的科目.从2003年起，*对硕士研究生招生考试进行了改革，考试科目数减少到4科，数学卷面总分为150分，加重了数学在研究生招生考试中(理工、经管类专业)的分量.因此，如何进行数学课程的复习成了所有考生十分关心的问题.为了帮助广大考生能在研究生招生考试中得到理想的分数，实现自己的梦想，我们编写了此书.为了使读者获得良好的复习效果，我们在编写中贯彻了如下指导思想：1. 严格按照*制定的“全国硕士研究生招生统一考试数学考试大纲”的要求编写.2. 力争做到跟踪命题走向，抓住出题者心理，研究考题思路，贴近考研题型.通过对辅导教材的学习，使考生达到事半功倍的效果.根据上述指导思想编写的本书具有如下特色：1. 本书融进了多年考研辅导班授课教师的授课经验和积累的丰富材料；2. 本书通过对研究生招生考试知识点的精选总结和典型例题的深入分析，突出体现数学的思想、方法和技巧，使考生不但通过复习能够熟悉试题的类型，更能掌握解决问题的方法；3. 本书深入地分析了历年来研究生招生考试数学试题的特点，从试题内容的分类和解决方法上进行了认真的研究，使得本书适合理工类和经管类的所有考生；4. 本书在典型例题的编写中，对历年研究生招生考试数学试题都在例题的右上角用①②③做了标注，用以表示是历年研究生招生考试数学一、二、三试卷中的试题；5. 书末附有两套近两年的考研真题及参考答案，有利于考生对考试情况的了解.参加本书编写的教师有白岩（高等数学）、陈殿友（线性代数）、高彦伟（概率论与数理统计）.清华大学出版社对本教材的编辑和出版工作给予了大力支持，在此表示感谢.由于时间比较仓促，书中的疏漏和不妥，敬请读者不吝赐教.

编者2017年2月