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　　《2015年考研数学新编考试参考书》为报考硕士研究生参加全国数学统考的考生而编写的。全书分高等数学、线性代数、概率论与数理统计三部分共十章。每章下面分节，每节又分“内容摘要与考查重点”和“例题分析”两部分。第一部分简明扼要地把本节考查内容介绍出来，并指出考查重点；第二部分列举典型例子分析解题思路，并示明考试题型。这些例子侧重于概念的理解、理论的掌握、方法的运用，可以使考生触类旁通、举一反三。

第一章 函数、极限、连续性

1 函数

2 极限

3 连续性

小结与习题

第二章 一元函数微分学

1 导数与微分

2 微分中值定理

3 导数的应用

小结与习题

第三章 一元函数积分学

1 不定积分

2 定积分

3 定积分的应用

4 广义积分

小结与习题

第四章 向量代数和空间解析几何

1 空间直角坐标系与向量代数

2 平面与直线

3 二次曲面

小结与习题

第五章 多元函数微分学

1 多元函数微分法

2 多元函数微分学的应用

小结与习题

第六章 多元函数积分学

1 二重积分与三重积分

2 曲线积分

3 曲面积分

小结与习题

第七章 无穷级数

1 常数项级数

2 幂级数

3 傅里叶（Fourier）级数

小结与习题

第八章 常微分方程

1 一阶微分方程

2 高阶微分方程降阶解法

3 线性微分方程

4 微分方程的应用

小结与习题

第九章 线性代数

1 行列式

2 矩阵及其运算

3 向量

4 线性方程组

5 矩阵的特征值和特征向量

6 二次型

小结与习题

第十章 概率论与数理统计

1 随机事件和概率

2 随机变量及其分布

3 多维随机变量及其分布

4 随机变量的数字特征

5 大数定律和中心极限定理

6 数理统计的基本概念

7 参数估计

8 假设检验

小结与习题

附录1 差分方程简介

附录2 2014年全国攻读硕士学位研究生入学考试数学试题及参考解答

附录3 2013年全国攻读硕士学位研究生入学考试数学试题及参考解答

　　李恒沛，北京航空航天大学教授，考研数学命题专家，从事数学教学与科研四十余年。曾发表过数十篇学术论文，出版专著多部，主编考研著作五部，参与编写两部。曾为教育部考试中心考研数学命题组成员，并先后兼任原数学一、二命题组组长，参加命题工作近二十年，对此项工作有较深入的研究，并多年参与考研辅导与阅卷，归纳总结出十分丰富的经验。

　　高文森，吉林大学教授，考研数学命题专家。从事数学教学与科研几十年，曾发表过数十篇学术论文，出版专著多部，主编考研著作三部，曾为教育部考试中心考研数学命题组成员，熟悉考研数学命题过程与特点，多年参加考研辅导与阅卷，工作细致，经验丰富。

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　　第一章

　　函数、极限、连续性

　　§1函数

　　一、内容摘要与考查重点

　　1。函数的概念与表示法

　　函数的定义：设有两个变量x与y，如果当变量x在某数集D内任取一值时，变量y按照一定的法则总有一个确定值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为y＝f(x)。这时称x为自变量，也称y是因变量，称D是函数f(x)的定义域。

　　2。函数的简单性质

　　(1)单调性：设y＝f(x)在某区间I内有定义，如果对于该区间内的任意两点x1＜x2，恒有f(x1)＜f(x2)(或f(x1)＞f(x2))，则称f(x)在区间I上是单调增加的(或单调减少的)。

　　(2)奇偶性：设y＝f(x)在某对称于原点的区间I内有定义，如果对于I内任意点x，恒有f(-x)＝f(x)，则称f(x)在I内是偶函数；如果恒有f(-x)＝-f(x)，则称f(x)在I内是奇函数。

　　偶函数的图形对称于y轴，奇函数的图形对称于原点。

　　(3)周期性：设y＝f(x)在实数集R内有定义，若存在一个正的常数T，使得f(x+T)＝f(x)对于任何的x∈R都成立，则称f(x)是周期函数。通常将满足关系式的最小正数T称为函数f(x)的周期。

　　(4)有界性：设y＝f(x)在区间I内有定义，如果存在M＞0，使得对于任何x∈I，都有｜f(x)｜≤M，则称f(x)在I内有界。

　　3。复合函数

　　设y＝f(u)的定义域为Du，u＝φ(x)的定义域为Dx，值域为E，若E?Du，则对于任何x∈Dx，有u＝φ(x)与x对应，而u∈E?Du，故又有确定的y与u对应，从而，对于任何x∈Dx，都有确定的y与x对应，按照函数的定义，确定了y是x的函数。此函数是通过中间变量u建立起y与x的对应关系的，因而，称此函数为y＝f(u)与u＝φ(x)的复合函数，记为y＝f(φ(x))。

　　4。反函数

　　设y＝f(x)的值域为Dy，如果对于Dy中的任何一个y值，从关系式y＝f(x)中可确定唯一的x值，则按照函数的定义，也确定了x是y的函数，称此函数为y＝f(x)的反函数，记为x＝f-1(y)。

　　习惯上，用x表示自变量、y表示因变量，因此也称y＝f-1(x)是y＝f(x)的反函数。

　　y＝f-1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称。

　　注意：x＝f-1(y)与y＝f(x)的图象是同一个。

　　5。初等函数与基本初等函数

　　(1)基本初等函数：称下述五种函数为基本初等函数。

　　幂函数y＝xμ(μ为实数)。

　　指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)。

　　对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)。

　　三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝cotx，y＝secx，y＝cscx。

　　反三角函数y＝arcsinx，y＝arccosx，y＝arctanx，y＝arccotx。

　　(2)初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算、有限次复合而成并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。

　　6。分段函数

　　如果一个函数f(x)在其定义域内的不同的区间内，其对应法则有着不同的初等函数表达式，则称此函数为分段函数。

　　对于本小节的内容，应重点掌握以下几点：

　　(1)理解函数的概念，掌握函数的表示法。

　　例如，应会求函数的定义域和值域，会从函数的复合表达式中求出原来函数的表达式，即从f(φ(x))＝g(x)中求出f(x)的表达式，尤其应注意求分段函数的复合问题。

　　(2)了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

　　例如，应会判定函数的单调性(用定义或用后面所述的导数方法)、奇偶性等。

　　(3)掌握基本初等函数的性质及其图形。

　　二、例题分析

　　例1设x∈（-∞，+∞），f(x)有定义，且f（x）≠0，f(x，y)=f(x)·f(y)，求f(2014)?分析：因?x∈(-∞，+∞)，有f(x)≠0，故知f(0)≠0?适当选择x与y之值，由已知函数等式即得所求?

　　解：

　　令x=0，y=2014，则有

　　f(0)=f(0)·f(2014)，因f(0)≠0，

　　故得f（2014）=1?

　　例2已知f(x)在［-2，2］上为偶函数，且f(x)＝2x2+x(x

　　∈［-2，0］)，那么当x∈［0，2］时，f(x)的表达式为()。

　　（A）2x2+x（B）2x2-x（C）-2x2+x

　　（D）-2x2-x

　　分析：已知函数的奇偶性时，可以由奇偶性的性质来得出对称区间上的函数的表达式。

　　当x∈［0，2］时，-x∈［-2，0］，由于f(x)是偶函数，所以有f(x)＝f(-x)＝2(-x)2+(-x)＝2x2-x。

　　解：应选B。

　　例3设f(x)＝1，｜x｜≤1，

　　0，｜x｜＞1，g(x)＝2-x2，｜x｜≤2，

　　2，｜x｜＞2，求f(g(x))。

　　分析：这是一个分段函数求复合函数的问题，按照一般求复合函数的方法，先将f(x)的表达式中的x用g(x)替换。这里的关键是要注意到g(x)也是分段函数，要讨论分段函数g(x)的取值范围。

　　解：f(g(x))＝1，｜g(x)｜≤1，

　　0，｜g(x)｜＞1，

　　以下的关键问题是要知道当x在什么范围内变化时｜g(x)｜≤1，当x在什么范围内变化时｜g

　　(x)｜＞1。

　　先来讨论使｜g(x)｜≤1的x的范围。

　　由g(x)的表达式清楚地看出只有当｜x｜≤2时才可能使｜g(x)｜≤1。

　　在｜x｜≤2范围内，要使｜g(x)｜＝｜2-x2｜≤1，只需

　　1≤｜x｜≤3。

　　所以，当1≤｜x｜≤3时，有｜g(x)｜≤1。

　　再来讨论使｜g(x)｜＞1的x的范围。

　　由g(x)的表达式可知当｜x｜＞2时｜g(x)｜＞1。另外，当3＜｜x｜≤2或｜x｜＜1时，也有｜g(x)｜＞1。

　　综合上述讨论知

　　f(g(x))＝1，1≤｜x｜≤3，

　　0，｜x｜＞3或｜x｜＜1。

　　例4设y＝(a-xb)1n，当a，b满足条件时，该函数的反函数与该函数相等。

　　分析：由y＝(a-xb)1n可得

　　x＝(a-yn)1b，

　　也即反函数为y＝(a-xn)1b。

　　与直接函数比较就知当b＝n，a为任意值时，反函数与直接函数相等。

　　解：应填b＝n，a为任意值。

　　例5设g(x)在［a，b］上单增，f(x)在［g(a)，g(b)］上单减

　　，则f(g(-x))()。

　　（A）在［a，b］上单增（B）在［a，b］上单减

　　（C）在［-b，-a］上单增（D）在［-b，-a］上单减

　　分析：首先，可知保证f(g(-x))有定义的区间应是［-b，-a］，所以，可排除A、B选项。

　　然后，再用单调性定义判断。

　　任取x1，x2∈［-b，-a］，x1＜x2，则

　　-x1，-x2∈［a，b］，且-x1＞-x2。

　　由g(x)的单增性有g(-x1)＞g(-x2)。

　　再由f(x)的单减性有f(g(-x1))＜f(g(-x2))。

　　所以复合函数f(g(-x))在［-b，-a］上单增。

　　解：应选C。

　　例6设y＝12xf(t-x)，当x＝1时，y＝12t2-t+5，求f(x)。

　　解：x＝1时，y＝12f(t-1)＝12t2

　　-t+5。

　　从而f(t-1)＝t2-2t+10。

　　令t-1＝x，f(x)＝(x+1)2-2(x+1)+10。

　　所以f(x)＝x2+9。

　　例7设f(x)＝xx-1(x≠1)，则f(f(f(

　　f(x))))＝。

　　分析：f(f(x))＝f(x)f(x)-1＝xx-1xx-1-1＝x(x≠1)，

　　f(f(f(x)))＝f(f(x))f(f(x))-1＝xx-1(x≠1)。

　　f(f(f(f(x))))＝f(f(x))＝x(x≠1)。

　　解：应填x(x≠1)。

　　例8下列函数中是偶函数的应为()。

　　（A）f(x)＝lnx+x2+1（B）f(x)＝(［x］)2

　　（C）f(x)＝2+3x+2-3x（D）f(x)＝sgn(x)·cosx

　　分析：此题是考查函数的奇偶性的定义以及一些典型函数的定义。容易验证A、D选项的

　　函数是奇函数，B选项的函数非奇非偶，故只有选择C。

　　因为此时

　　f(-x)＝2+3-x+2-3-x＝12+3x+12-3x

　　＝2-3x+2+3x＝f(x)。

　　解：应选C。

　　例9下列函数中不是周期函数的应为（）。

　　（A）f(x)=sin2x（B）f(x)=sinx2+cosx3

　　（C）f(x)=sin2x+cosπx（D）f(x)=x-［x］

　　分析：因f（x）=sin2x=12(1-cos2x)，故f(x)为周期函数，其最小正周期为T=π。

　　容易看出，sinx2的最小正周期为4π，cosx3的最小正周期为6π，从而其和的最小正周期为12π。同理sin2x的最小正周期为π，cosπx

　　的最小正周期为2，从而其和不是周期函数。至于f(x)=x-［x］(若x=n+α，n为整数，且0≤α<1，则［x］=n)，容易验证它为周期函数。事实上，设x=n+α，n为整数，0≤α<1，m为整数，则

　　f(m+x)=f(m+n+α)=m+n+α-［m+n+α］

　　=m+n+α-m-［n+α］=n+α-［n+α］

　　=x-［x］=f(x)。

　　于是所有整数m都是f(x)的周期，而最小正周期为1。综上分析，应选C。

　　解：应选C。

　　例10设?x∈(-∞，+∞)，函数y=f(x)的图形对称于直线x=a与x=b(a＜b)，试证函数f(x)为周期函数。

　　分析：先弄清题意，写出题设表达式，再由周期函数定义证之。

　　证明：由题设，有

　　f(a-x)=f(a+x)，①

　　f(b-x)=f(b+x)，②

　　由②，f［b+(x+b-2a)］=f［b-(x+b-2a)］

　　=f(2a-x)=f［a+(a-x)］由①f［a-(a-x)］

　　=f(x)

　　即f［x+2(b-a)］=f(x)，2(b-a)＞0。

　　故函数f(x)为具有周期2(b-a)的周期函数。

　　注：用a-x，b-x分别替代x，由①，②得

　　f(x)＝f(2a-x)③

　　f(x)＝f(2b-x)④

　　由④，f(2a-x)＝f［2b-(2a-x)］=f［x+2(b-a)］

　　由③，f(x)=f［x+2(b-a)］

　　同样由③，④也可推出①，②。

　　故①与③等价，②与④等价。

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