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《考研数学真题录（数学三）》由深谙命题原则和规律，每年参加阅卷的教师编写，全书内容分为两部分，*部分对历年真题按章分类进行归纳总结；第二部分是对真题的详细解答，客观题解答主要采用简单易行的方法，解答题主要采用的是阅卷评分时的评分标准答案.本书题量恰当，解答简洁规范，能够帮助考生复习数学大纲所要求的所有考点，并能够明确重点，突破难点，掌握解题的主要方法，提高解题能力.

本书是在编者原有资料基础上修订而成，在辅导实践中连续使用多年，曾帮助很多考生获得了较好的成绩，考生复习基础知识点后即可使用.

科目一微积分

章函数、极限与连续

第二章导数与微分

第三章导数的应用

第四章一元函数积分学

第五章定积分的应用

第六章多元函数微分学

第七章二重积分

第八章无穷级数

第九章常微分方程与差分方程

第十章经济应用问题

科目二线

性 代 数

章行列式

第二章矩阵

第三章向量

第四章线性方程组

第五章特征值与特征向量

第六章二次型

科目三概率论与数理统计

章随机事件和概率

第二章随机变量及其分布

第三章数字特征

第四章大数定律与中心极限定理

第五章数理统计

科目一微积分参考答案

章函数、极限与连续

第二章导数与微分

第三章导数的应用

第四章一元函数积分学

第五章定积分的应用

第六章多元函数微分学

第七章二重积分

第八章无穷级数

第九章常微分方程与差分方程

第十章经济应用问题

科目二线性代数参考答案

章行列式

第二章矩阵

第三章向量

第四章线性方程组

第五章特征值与特征向量

第六章二次型

科目三概率论与数理统计参考答案

章随机事件和概率

第二章随机变量及其分布

第三章数字特征

第四章大数定律与中心极限定理

第五章数理统计

2018年全国硕士研究生招生考试数学（三）试卷

2018年全国硕士研究生招生考试数学（三）参考答案

高远  教授，从事考研辅导、阅卷20多年，对考试重点、难点和命题规律把握准确，连续多年受邀作“考研数学考试大纲解析”方面的讲座。主编《考研数学真题录（数学一、数学二）》《考研数学考试大纲解析》《考研数学考试大纲配套600题》《全国硕士研究生招生考试辅导教材—数学》（2009-2018版）等多部考研数学辅导用书。

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考研数学真题录(数学三)科目一微积分

科目一微积分

章函数、极限与连续

一、 选择题

1. (1987年)函数在其定义域内连续的是().

(A) f(x)=lnx sinx(B)  f(x)=sinx,x≤0,

cosx,x>0

(C) f(x)=x 1,x<0,

0,x=0,

x-1,x>0(D)  f(x)=1|x|,x≠0,

0,x=0

2. (1989年)设f(x)=2x 3x-2,则当x→0时,().(A) f(x)与x是等价无穷小量(B)  f(x)与x同阶但非等价无穷小量(C) f(x)是比x较高阶的无穷小量(D)  f(x)是比x较低阶的无穷小量

3. (1990年)设函数f(x)=xtanx·esinx，则f(x)是 ().(A) 偶函数(B)  无界函数(C) 周期函数(D)  单调函数

4. (1991年)下列各式中正确的是().(A) limx→0 1 1xx=1(B)  limx→0 1 1xx=e(C) limx→∞1-1xx=-e(D)  limx→∞1 1x-x=e

5. (1991年)设数列的通项为xn=n2 nn,若n为奇数，

1n,若n为偶数，则当n→∞时，xn是().(A) 无穷大量(B)  无穷小量(C) 有界变量(D)  无界变量

6. (1992年)当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量().(A) x2(B)  1-cosx(C) 1-x2-1(D)  x-tanx

7. (1998年)设函数f(x)=limn→∞1 x1 x2n，讨论函数f(x)的间断点，其结论为().(A) 不存在间断点(B)  存在间断点x=1(C) 存在间断点x=0(D)  存在间断点x=-1

8. (2000年)设对任意的x,总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且limx→∞［g(x)-φ(x)］=0,则limx→∞f(x)().(A) 存在且一定等于零(B)  存在但不一定为零(C) 一定不存在(D)  不一定存在9. (2004年)函数f(x)=|x|sin(x-2)x(x-1)(x-2)2在下列哪个区间内有界().(A) (-1,0)(B)  (0,1)(C) (1,2)(D)  (2,3)

10. (2004年)设函数f(x)在(-∞, ∞)内有定义，且limx→∞f(x)=a,又设函数

g(x)=f1x,x≠0，

0,x=0，则().(A) x=0必是g(x)的类间断点(B)  x=0必是g(x)的第二类间断点(C) x=0必是g(x)的连续点(D) g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关11. (2007年)当x→0 时，与x等价的无穷小量是().(A) 1-ex(B)  ln(1 x)(C) 1 x-1(D)  1-cosx12. (2008年)设0<a<b，则limn→∞(a-n b-n)1n=().(A) a(B)  a-1(C) b(D)  b-1

13. (2009年)函数f(x)=x-x3sinπx的可去间断点的个数为().(A) 1(B) 2(C) 3(D) 无穷多个14. (2009年)当x→0时， f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则().(A) a=1,b=-16(B)  a=1,b=16(C) a=-1,b=-16(D)  a=-1,b=1615. (2010年)若limx→01x-1x-aex=1，则a等于().(A) 0(B)  1(C) 2(D)  316. (2010年)设f(x)=(lnx)10,g(x)=x,h(x)=ex10，则当x充分大时,有().(A) g(x)<h(x)<f(x)(B)  h(x)<g(x)<f(x)(C) f(x)<g(x)<h(x)(D)  g(x)<f(x)<h(x)17. (2011年)当x→0时，f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则().(A) k=1,c=4(B)  k=1,c=-4(C) k=3,c=4(D)  k=3,c=-418. (2013年)当x→0时,用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是().(A) x·o(x2)=o(x3)(B)  o(x)·o(x2)=o(x3)(C) o(x2) o(x2)=o(x2)(D)  o(x) o(x2)=o(x2)19. (2013年)设函数f(x)=|x|x-1x(x 1)·ln|x|，则f(x)可去间断点的个数为().(A) 0(B)  1(C) 2(D)  320. (2014年)设limn→∞an=a≠0，则当n充分大时,有().(A) |an|>|a|2(B)  |an|<|a|2(C) an>a-1n(D) an<a 1n21. (2014年)设P(x)=a bx cx2 dx3,则当x→0时，若P(x)-tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是().(A) a=0(B)  b=1(C) c=0(D) d=1622. (2015年)设{xn}是数列,下列命题中不正确的是().

(A) 若limn→∞xn=a，则limn→∞x2n=limn→∞x2n 1=a(B) 若limn→∞x2n=limn→∞x2n 1=a，则limn→∞n=a(C) 若limn→∞xn=a，则limn→∞x3n=limn→∞x3n 1=a(D) 若limn→∞x3n=limn→∞x3n 1=a，则limn→∞xn=a

二、 填空题

23. (1992年)已知f(x)=sinx,f［φ(x)］=1-x2,则φ(x)=，定义域为.24. (1993年)limx→∞3x2 55x 3sin2x=.25. (1993年)limn→∞［1 2 … n-1 2 … (n-1)］=.26. (1999年)设函数f(x)=ax(a>0,a≠1),则limn→∞1n2ln［f(1)f(2)…f(n)］=.27. (2000年)若a>0,b>0均为常数，则limx→0ax bx23x=.28. (2002年)设常数a≠12,则limn→∞lnn-2na 1n(1-2a)n=.29. (2003年)极限limx→0［1 ln(1 x)］2x=.30. (2004年)若limx→0sinxex-a(cosx-b)=5,则a=,b=.31. (2005年)极限limx→∞xsin2xx2 1=.32. (2006年)limn→∞n 1n(-1)n=.33. (2007年)limx→ ∞x3 x2 12x x3(sinx cosx)=.34. (2008年)设函数f(x)=x2 1,|x|≤c,2|x|,|x|>c在(-∞, ∞)内连续,则c=.

35. (2009年)limx→0e-ecosx31 x2-1=.36. (2012年)limx→π4(tanx)1cosx-sinx=.37. (2013年)设曲线y=f(x)与y=x2-x在点(1,0)处有公共切线，则limn→∞nfnn 2=.

38. (2015年)limx→0ln(cosx)x2=.39. (2016年)已知函数f(x)满足limx→01 f(x)sin2x-1e3x-1=2，则limx→0f(x)=.40. (2016年)极限limn→∞1n2sin1n 2sin2n … nsinnn=.三、 解答题41. (1987年)求极限limx→ ∞ln1 1xarccotx.

42. (1988年)求极限limx→1(1-x2)tanπ2x.43. (1988年)求极限limx→1xx-1xlnx.44. (1989年)求极限limx→∞sin1x cos1xx.45. (1989年)求极限limx→ ∞(x ex)1x.46. (1991年)求极限limx→0ex e2x … enxn1x，其中n是给定的自然数.47. (1991年)求极限limx→ ∞(x 1 x2)1x.48. (1992年)设函数f(x)=lncos(x-1)1-sinπ2x,若x≠1,

1,若x=1,问函数f(x)在x=1处是否连续？若不连续，修改函数在x=1处的定义，使之连续.49. (1994年)求极限limx→∞x-x2ln1 1x.50. (1997年)求极限limx→0ax-1x2-a2ln(1 ax)(a≠0).

51. (1998年)求limn→∞ntan1nn2(n为自然数).52. (2001年)已知f(x)在(-∞, ∞)内可导，且

limx→∞f ′(x)=e,limx→∞x cx-cx=limx→∞［f(x)-f(x-1)］,

求c的值.

53. (2003年)设f(x)=1πx 1sinπx-1π(1-x),x∈12,1.试补充定义f(1)使得f(x)在12，1上连续.54. (2004年)求limx→01sin2x-cos2xx2.55. (2005年)求limx→01 x1-e-x-1x.56. (2008年)求极限limx→01x2lnsinxx.57. (2010年)求极限limx→ ∞x1x-11lnx.58. (2011年)求极限limx→01 2sinx-x-1xln(1 x).59. (2012年)求极限limx→0ex2-e2-2cosxx4.60. (2013年)当x→0时，1-cosx·cos2x·cos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值.61. (2014年)求极限limx→ ∞∫x1(t2(e1t-1)-t)dtx2ln1 1x.62. (2015年)设函数f(x)=x aln(1 x) bxsinx，g(x)=kx3.若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a,b,k的值.63. (2016年)求极限limx→0(cos2x 2xsinx)1x4.

第二章导数与微分

一、 选择题1. (1987年)若函数f(x)在区间(a,b)内可导，x1 和x2是区间(a,b)内任意两点，且x1<x2，则至少存在一点ξ,使().

(A)  f(b)-f(a)=f ′(ξ)(b-a),其中a<ξ<b(B)  f(b)-f(x1)=f ′(ξ)(b-x1),其中x1<ξ<b(C)  f(x2)-f(x1)=f ′(ξ)(x2-x1),其中x1<ξ<x2(D) f(x2)-f(a)=f ′(ξ)(x2-a),其中a<ξ<x2

2. (1990年)设函数f(x)对任意x均满足等式f(1 x)=af(x),且有f ′(0)=b,其中a,b为非零常数，则().(A)  f(x)在x=1处不可导(B)  f(x)在x=1处可导，且f ′(1)=a(C)  f(x)在x=1处可导，且f ′(1)=b(D) f(x)在x=1处可导，且f ′(1)=ab

3. (1993年)设函数f(x)=|x|sin1x2,x≠0,

0,x=0,则f(x)在点x=0处().(A)  极限不存在(B)  极限存在但不连续(C)  连续但不可导(D)  可导

4. (1996年)设f(x)处处可导，则().(A)  当limx→ ∞f ′(x)= ∞时，必有limx→ ∞f(x)= ∞(B)  当limx→ ∞f(x)= ∞时，必有limx→ ∞f ′(x)= ∞(C)  当limx→-∞f ′(x)=-∞时，必有limx→-∞f(x)=-∞(D) 当limx→-∞f(x)=-∞时，必有limx→-∞f ′(x)=-∞

5. (2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是().(A)  f(a)=0且f ′(a)=0(B)  f(a)=0且f ′(a)≠0(C)  f(a)>0且f ′(a)>0(D)  f(a)<0且f ′(a)<06. (2002年)设函数f(x)在闭区间［a,b］上有定义，在开区间(a,b)内可导，则().(A)  当f(a)f(b)<0时，存在ξ∈(a,b),使f(ξ)＝0(B)  对任何ξ∈(a,b)，有limx→ξ［f(x)-f(ξ)］=0(C)  当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a,b),使f ′(ξ)=0(D) 存在ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f ′(ξ)(b-a)

7. (2003年)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f ′(0)存在，则函数g(x)=f(x)x().(A)  在x=0处左极限不存在(B)  有跳跃间断点x=0(C)  在x=0处右极限不存在(D)  有可去间断点x=0

8. (2003年)设函数f(x)=|x3-1|φ(x),其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的().(A)  充分必要条件(B)  必要但非充分条件(C)  充分但非必要条件(D)  既非充分也非必要条件

9. (2004年)设f ′(x)在［a,b］上连续，且f ′(a)>0,f ′(b)<0，则下列结论中错误的是().(A)  至少存在一点x0∈(a,b)，使得f(x0)>f(a)(B)  至少存在一点x0∈(a,b)，使得f(x0)>f(b)(C)  至少存在一点x0∈(a,b)，使得f ′(x0)=0(D) 至少存在一点x0∈(a,b)，使得f(x0)=010. (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且 f ′(x)>0,f″(x)>0,Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若Δx>0，则().(A)  0<dy<Δy(B)  0<Δy<dy(C)  Δy<dy<0(D)  dy<Δy<011. (2006年)设函数f(x)在x=0处连续，且limh→0f(h2)h2=1,则().(A)  f(0)=0且f ′-(0)存在(B)  f(0)=1且f ′-(0)存在(C)  f(0)=0且f ′ (0)存在(D)  f(0)=1且f ′ (0)存在

12. (2007年)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是().(A)  若limx→0f(x)x存在，则f(0) =0(B)  若limx→0f(x) f(-x)x存在，则f(0) =0(C)  若limx→0f(x)x存在，则f ′(0) 存在(D) 若limx→0f(x)-f(-x)x存在，则f ′(0) 存在

13. (2011年)已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则limx→0x2f(x)-2f(x3)x3=().(A)  -2f ′(0)(B)  -f ′(0)(C)  f ′(0)(D)  0

14. (2012年)设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n),其中n为正整数，则f ′(0)=().(A)  (-1)n-1(n-1)!(B)  (-1)n(n-1)!(C)  (-1)n-1n!(D)  (-1)nn!

15. (2014年)设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x) f(1)x，则在［0，1］上().(A) 当f ′(x)≥0时,f(x)≥g(x)(B)  当f ′(x)≥0时,f(x)≤g(x)(C) 当f″(x)≥0时,f(x)≥g(x)(D) 当f″(x)≥0时,f(x)≤g(x)

二、 填空题

16. (1990年)设函数f(x)有连续的导函数，f(0)=0且f ′(0)=b,若函数F(x)=f(x) asinxx,x≠0,

A,x=0

在x=0处连续，则常数A=.17. (1992年)设f(t)=limx→∞tx tx-tx,则f ′(t)=.18. (1993年)已知y=f3x-23x 2,f ′(x)=arcsinx2,则dydxx=0=.

19. (1994年)已知f ′(x0)=-1,则limx→0xf(x0-2x)-f(x0-x)=.20. (1994年)设方程exy y2=cosx确定y为x的函数，则dydx=.

21. (1995年)设f(x)=1-x1 x，则 f(n)(x)=.

22. (1996年)设方程x=yy确定y是x的函数，则dy=.23. (1996年)设y=ln(x 1 x2),则yx=3=.24. (1997年)设y=f(lnx)ef(x)，其中f可微，则dy=.25. (2003年)设f(x)=xλcos1x,若x≠0，0,若x=0,其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是.26. (2004年)设y=arctanex-lne2xe2x 1，则 dydxx=1=.27. (2006年)设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f ′(x)=ef(x),f(2)=1,则f(2)=.28. (2007年)设函数y=12x 3,则y(n)(0)=.29. (2011年)设f(x)=limt→0x(1 3t)xt,则f ′(x)=.30. (2012年)设函数f(x)=lnx,x≥1,

2x-1,x<1,y=f(f(x)),则 dydxx=e=.

三、 解答题31. (1987年)设y=ln1 x2-11 x2 1,求y′.32. (1988年)确定常数a和b,使函数f(x)=ax b,x>1,

x2,x≤1处处可导.

33. (1990年)设f(x)在闭区间［0，c］上连续，其导数f ′(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式:f(a b)≤f(a) f(b),

其中常数a,b满足条件0≤a≤b≤a b≤c.

34. (1992年)求证: 方程x p qcosx=0恰有一个实根，其中p,q为常数，且0<q<1.

35. (1993年)假设函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内二阶可导，过点A(0,f(0)),B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0<c<1,证明: 在(0,1)内至少存在一点ξ,使f″(ξ)=0.

36. (1995年)设f(x)在区间［a,b］上连续，在(a,b)内可导，证明: 在(a,b)内至少存在一点ξ,使

bf(b)-af(a)b-a=f(ξ) ξf ′(ξ).

37. (1996年)设f(x)=g(x)-e-xx,若x≠0,

0,若x=0,其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)=1,g′(0)=-1.(1) 求f ′(x); (2) 讨论f ′(x)在(-∞, ∞)上的连续性.38. (1998年)设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且f ′(x)≠0.试证存在ξ,η∈(a,b),使得f ′(ξ)f ′(η)=eb-eab-a·e-η.

39. (1998年)设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=1,试证存在ξ,η∈(a,b),使得eη-ξ［f(η) f ′(η)］=1.40. (1999年)设函数f(x)在区间［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f12=1.

试证: (1) 存在η∈12,1,使f(η)=η; 

(2) 对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f ′(ξ)-λ［f(ξ)-ξ］=1.41. (2003年)设函数f(x)在［0,3］上连续，在(0,3)内可导，且f(0) f(1) f(2)=3,f(3)=1.试证必存在ξ∈(0,3),使f ′(ξ)=0.42. (2007年)设函数f(x),g(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内二阶可导，且存在相等的值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b).证明: (1) 存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η)； (2) 存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ).43. (2009年)(1)  证明拉格朗日中值定理: 若函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，则存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f ′(ξ)(b-a).(2) 证明: 若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ>0)内可导，且limx→0 f ′(x)=A,则f ′ (0)存在，且f ′ (0)=A.44. (2010年)设函数f(x)在［0，3］上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫20f(x)dx=f(2) f(3).

证明： (1) 存在η∈(0,2)，使f(η)＝f(0); (2) 存在ξ∈(0,3)，使f″(ξ)=0.45. (2013年)设函数f(x)在［0, ∞)上可导，f(0)=0,且limx→ ∞f(x)=2.证明:(1) 存在a>0,使得f(a)=1; (2) 对(1)中的a,存在ξ∈(0,a)，使得f ′(ξ)=1a.46. (2015年)(1) 设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明

［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x) u(x)v′(x)；

(2) 设函数u1(x),u2(x),…,un(x)可导，f(x)=u1(x)u2(x)…un(x)，写出f(x)的求导公式.

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真题是考研复习备考的*好蓝本，有效提高实战能力的办法就是真题精练。《考研数学真题录（数学三）》按知识点对历届考研真题进行详细解题分析，把每一种套路的特点和解题方法分析透彻，按照题目的类型进行解题套路的训练，从而引导考生顺利得到高分。

书摘插图

前言

《考研数学真题录（数学三）》是为准备参加全国硕士研究生招生考试的同学量身定做的学习资料，与《全国硕士研究生招生考试辅导教材——数学》（清华大学出版社）、《考研数学基础解析120讲》、《考研数学考试大纲解析》、《考研数学考试大纲配套600题》和《考研数学真题录（数学一、数学二）修订版》（清华大学出版社）构成了完整的教材辅导体系.为什么真题是“必刷题”，就是因为它能覆盖全部考点，又能体现命题的角度,所以将1987年至今的考题按照大纲分章进行归类解析.这本真题录与众不同，主要体现在以下几个方面：1. 内容规范，形式统一由于多方面的原因，不同年份的真题在叙述上、数学符号和字母的使用上存在差别，所以本书除了将历年真题分章归类外，按照目前命题的特点和习惯对数学符号和字母进行了统一，方便读者使用.2. 考点覆盖全面，题量适中在复习的过程中，要想掌握数学方法，就需要演练一定量的习题，刷什么题合适？刷多少题合适，30多年的真题完整地体现了考试大纲所规定的考试内容，诠释了考试的基本要求，所以能覆盖所有的考点并能够体现考试要求的资料，非真题莫属.与此同时，删减了反复考查的过多雷同的题型，尽量减少考生的负担.3. 命题特点突出模拟题是对真题的模仿，无法做到在难度、命题特点上与真题贴切，所以练习真题会取得更好的复习效果.4. 解答简洁明晰，实践检验效果好书中真题多数解答过程采用的是阅卷评分时的标准解答过程，从而使读者在练习过程中养成规范解答的习惯，善于抓住采分点.同时通过对近几年经我们辅导的考生的情况来看，完成这本习题的同学多数都取得了较好的成绩.编写本书的几位老师均具有多年的阅卷经验，熟悉采分点和考生易犯的错误，在成书过程中交叉互审稿件，反复讨论，方成此书，全书后由高远教授审阅定稿.需要特别指出，在本书的成书过程中参考和引用了很多同类资料，向作者们借鉴成熟的经验，向专家们汲取宝贵的智慧，在此不一一列出，谨向他们表示诚挚的谢意.感谢清华大学出版社的大力支持，感谢读者朋友的信任，选择了我们编写的这套资料，希望读者尽快进入书中真题的演练过程.限于水平，书中的疏漏和不妥，恳请读者不吝赐教.编者2018年3月